Question

23 Arătaţi că numărul a = 2¹⁵⁰⁴ + 2¹⁵⁰⁵ + ... + 2²⁰⁰² nu este pătrat perfect. Repede va rog​

Answer 1

Fie $\displaystyle\\n\in\mathbb{N}$, în funcție de restul împărțirii lui n la 4, avem:

Dacă $n=4k,~k\in\mathbb{N}$, avem $\textnormal{U}(2^{4k})=6.$

Dacă $n=4k+1,~k\in\mathbb{N}$, avem $\textnormal{U}(2^{4k+1})=2.$

Dacă $n=4k+2,~n\in\mathbb{N}$, avem $\textnormal{U}(2^{4k+2})=4.$

Dacă $n=4k+3,~k\in\mathbb{N}$, avem $\textnormal{U}(2^{4k+3})=8.$

Un pătrat perfect poate avea ca și ultimă cifră : 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Acum, revenind la problemă, avem:

$\textnormal{U(a)}}=\textnormal{U}(\underbrace{(2^{1504}+2^{1505}+2^{1506}+2^{1507}}_{\textnormal{U}(2+4+6+8)=0})+...+2^{2002})$, incercam să facem grupe de câte 4 pentru simplitate, cum 2002=4*500+2, vom avea în ultima grupă trei termeni, $2^{2002},~2^{2001},~2^{2000}$, așadar:

$\boxed{\textnormal{U(a)}=(0+0+...+2^{2000}+2^{2001}+2^{2002})=\textnormal{U}(6+2+4)=2}~.$

Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră 2, obținem că a nu este pătrat perfect.