Question

23. Arătaţi că numărul natural n nu este pătrat perfect în următoarele cazun (a) n = 2¹ +2²+2³+ ... +253; b) n = 2° +2¹+2²+... +262​

Answer 1

Salut!

Uite cum demonstram:

a) n = 2+4+8+...+253.

Daca stim puterile lui 2, observam ca 253 nu poate fi scris ca 2^n. Mai mult, 253 ii are pe 11 si 23 ca factori primi.
cel mai aproape numar de 253 cu forma 2^n este 2^8 = 256.

2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^7 + 253 = 2(2^7-1) +253 = 254 +253 = 507
507 = 3 * 13^2, nu este patrat perfect.

b) n =  2° +2¹+2²+... +262​

Aceeasi logica, cel mai aproape numar de 262 cu forma 2^n este 2^8 = 256.

2°+2¹+2²+... +262​ = 2°+2¹+2²+...2^8 +262 = 510+262 = 772
772 clar nu este un patrat perfect. Daca il descompui in factori primi,
772 = 2^2 * 193