Question

23. Diagonalele unui romb sunt de 14 cm și 20 cm. Calculați aria patrulaterului ale
cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor rombului.

Answer 1

Urmărește notațiile de pe figura atașată.

Demonstrăm mai întâi că patrulaterul format este dreptunghi.

Q, M, N, P sunt mijloacele laturilor rombului ⇒ QM, MN, PN și QP sunt linii mijlocii în ΔADB, ΔABC, ΔCBD, respectiv ΔADC

⇒ QM║BD, PN║BD, MN║AC și QP║AC

⇒ MNPQ paralelogram

QM║DB  ⇒ ∡MQO ≡ ∡QOD (alt. interne)

QP║AC  ⇒ ∡PQO ≡ ∡QOA (alt. interne)

AC ⊥ BD  (diag. romb) ⇔  ∡QOD + ∡QOA = 90°

⇒  ∡MQO + ∡PQO = ∡MQO = 90°

⇒  MNPQ dreptunghi

Aria dreptunghiului = lungimea × lățimea

A(MNPQ) = QM × MN

QM linie mijlocie în ΔADB ⇒ QM = BD/2

MN linie mijlocie în ΔABC ⇒ MN = AC/2

A(MNPQ) = BD × AC / 4 = 14 × 20 / 4 = 14 × 5 = 70

A(MNPQ) = 70 cm²