Question

23. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, cu KA = 90°, AD peprendicular pe BC, D apartine lui (BC), unde AC=45 cm şi BD=48 cm. Calculați:
a) lungimea catetei AB şi a înălțimii AD;
b) perimetrul şi aria triunghiului ABC;
c) valoarea raportului aria ACD/aria ABD​

Answer 1

ΔABC este dreptunghic, ∢A = 90°, AD⊥BC, D∈BC

a)

Teorema catetei:

AC² = CD×BC = (BC-BD)×BC

45² = (BC-48)×BC

rezolvăm și reținem soluția pozitivă:

x² - 48x + 2025 = 0 <=> (x+27)(x-75) = 0

⇒ BC = 75 cm

T.Pitagora:

AB² = BC²-AC² = 75²-45² = 30×120 = 3600 = 60²

⇒ AB = 60 cm

CD = BC-BD = 75-48 = 27 cm

Teorema înălțimii:

AD² = BD×CD = 48×27 = 1296 = 36²

⇒ AD = 36 cm

b)

$\mathcal{P}_{\Delta ABC} = AB+BC+AC = 60+75+45 = \bf 180 \ cm$

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \dfrac{AD \cdot BC}{2} = \dfrac{36 \cdot 75}{2} = \dfrac{2700}{2} = \bf 1350 \ cm^{2}$

c)

$\mathcal{A}_{\Delta ACD} = \dfrac{AD \cdot CD}{2} = CD \cdot \dfrac{AD}{2}$

$\mathcal{A}_{\Delta ABD} = \dfrac{AD \cdot BD}{2} = BD \cdot \dfrac{AD}{2}$

⇒

$\dfrac{\mathcal{A}_{\Delta ACD}}{\mathcal{A}_{\Delta ABD}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{27}{48} = \bf \dfrac{9}{16}$

Answer 2

a)

Lansăm ipoteza:

"Triunghiul ABC este pitagoreic, de forma (3k,  4k,  5k)" .

$\it AC=45=3\cdot15 \Rightarrow AB= 4\cdot15=60 cm;\ \ BC=5\cdot15=75\ cm$

Cu teorema catetei AB, verificăm valabilitatea ipotezei de mai sus :

$\it AB^2=BC\cdot BD \Leftrightarrow 60^2=75\cdot48 \Leftrightarrow 3600=3600\ \ (Adev\breve arat)$

Așadar, ipoteza se verifică.

$\it AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{60\cdot45}{75}=36\ cm$

b)

$\it \mathcal{P} =45+60+75=180\ cm\\ \\ \mathcal{A}=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2}=\dfrac{45\cdot60}{2}=45\cdot30=1350\ cm^2$

c)

$\it CD=BC-BD=75-48=27\ cm\\ \\ \\ \dfrac{\mathcal{A}_{ACD}}{\mathcal{A}_{ABD}}=\dfrac{\dfrac{AD\cdot CD}{2}}{\dfrac{AD\cdot BD}{2}}=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{\ \ 27^{(3}}{48}=\dfrac{9}{16}$