Question

25. Desenaţi medianele AD și BE ale triunghiului echilateral ABC și reprezentați punctul G în care
acestea se intersectează.
a) Dacă GD = 2 cm, calculați lungimile segmentelor AD și GE.
b)Dacă AD + BE = 24 cm, calculați distanta de la punctul G la dreapta AB.

Answer 1

G reprezinta punctul de intersectie al medianelor si se numeste centrul de greutate. Acesta se afla la o treime de baza si doua treimi de varf

a) GD=2 cm

$GD=\frac{1}{3} \times AD\\\\2=\frac{1}{3} \times AD\\\\AD=6\ cm$

Fiindca este triunghi echilateral, medianele sunt egale, deci GE=GD=2 cm

b) AD+BE=24 cm

AD si BE sunt egale, fiind un triunghi echilateral.

AD=BE

AD+AD=24 cm

AD=BE=12 cm

Notam d(G,AB)=GH

Aflam Aria triunghiului ABC

$A_{ABC}=\frac{l^2\sqrt{3} }{4} =36\sqrt{3} \ cm^2$

Stim ca mediana imparte aria triunghiului in 2 arii egale

$GD=\frac{1}{3} \times 12=4\ cm$

BD=12:2=6 cm

$A_{GBD}=\frac{GD\times BD}{2} =\frac{4\times 6}{2} =12\ cm^2$

$A_{ABD}=A_{ABC}:2=36\sqrt{3} :2=18\sqrt{3} \ cm^2$

$A_{AGB}=18\sqrt{3} -12=\frac{GH\times AB}{2} \\\\18\sqrt{3} -12=\frac{GH\times 12}{2}\\\\18\sqrt{3} -12=6GH\\\\\\\GH=3\sqrt{3} -2$