Question

25 puncte + coroana.........

Answer 1

18.
A=1+2+2²+2³+...+2⁹⁸    =
nr termeni 99  se pot grupa cate 3
=(1+2+2²)+2³(1+2+2²)+...+2⁹⁶(1+2+2²)=
=7+2³×7+...+2⁹⁶×7=
=7(1+2³+...+2⁹⁶) deci divizibil cu 7


B=5+5²+5³+...+5¹⁰²    =
nr termeni 102  se pot grupa cate 3
=5(1+5+5²)+...+5¹⁰⁰(1+5+5²)=
=5(1+5+25)+...+5¹⁰⁰(1+5+25)=
=5×31+...+5¹⁰⁰×31=
=31(5+...+5¹⁰⁰) deci divizibil cu 31


C=7²+7³+...+7¹⁰³    =
nr termeni 103-2+1=102  se pot grupa cate 2
=7(1+7)+7³(1+7)+...+7¹⁰²(1+7)=
=7×8+7³×8+...+7¹⁰²×8=
=8×(7+7...+7¹⁰²) deci divizibil cu 8


19.
N=4ⁿ×5²ⁿ×5-4ⁿ×5²ⁿ =2²ⁿ×5²ⁿ×5-2²ⁿ×5²ⁿ =2²ⁿ×5²ⁿ×(5-1) =2²ⁿ×5²ⁿ×4=
=2²ⁿ×5²ⁿ×2² =2²ⁿ⁺²×5²ⁿ =(2ⁿ⁺¹×5ⁿ)²

√N divizibil cu 10
√(2ⁿ⁺¹×5ⁿ)²=2ⁿ⁺¹×5ⁿ =10ⁿ×2    este multiplu de 10 deci n∈[1,+∞)