Question

26. Să se arate că dacă laturile triunghiului ABC verifică relația
$\frac{bc}{ab + ac -bc } = \frac{ab}{bc + ac - ab} = \frac{ac}{ab + bc - ac}$
atunci triunghiul este echilateral.


bc = BC
ab = AB
ac = AC​

Answer 1

$\displaystyle\textnormal{Notatiile uzuale, BC=a, AC=b iar AB=c.}$

$\displaystyle\\\frac{a}{c+b-a}=\frac{c}{a+b-c}=\frac{b}{c+a-b}=\frac{a+b+c}{(c+b-a)+(a+b-c)+(c+a-b)}\\=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\implies \begin{cases}\displaystyle \frac{a}{c+b-a}=1 \\\displaystyle\frac{c}{a+b-c}=1\\ \displaystyle \frac{b}{c+a-b}=1{\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=c+b-a\\ c=a+b-c\\b=c+a-b \end{cases}$

$\displaystyle\textnormal{Asadar, vom avea ca 2a=b+c (1), 2b=a+c (2) iar 2c=a+b (3). }\\\textnormal{Daca inlocuim b}=\frac{a+c}{2} \textnormal{ in relatia (1), vom avea ca a=c. }\\\textnormal{Similar obtinem pentru c}=\frac{a+b}{2} \textnormal{ in relatia (2), vom obtine ca a=b.}\\\textnormal{cum a=c iar a=b}\implies\textnormal{a=b=c (qed)}.$