Question

26. Se consideră expresia E(x) = (x - 2)² + (2x - 1)(x − 3) + (3x + 2)² − 6x² + 5(x − 1),
unde x este un număr real.
a) Arătaţi că E(x) = 6(x² + x + 1), pentru orice număr real x.
b) Determinaţi valorile întregi ale lui n, pentru care E(n) ≤ 2n(n + 1) + 14.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

$E(x) = (x-2)^{2} + (2x-1)(x-3) + (3x+2)^{2} - 6x^{2} + 5(x-1) = x^{2} - 4x + 4 + 2x^{2} - 6x - x + 3 + 9x^{2} + 12x + 4 - 6x^{2} +5x - 5 = (12x^{2} - 6x^{2}) + (17x - 11x) + (11 - 5) = 6x^{2} + 6x + 6 = 6(x^{2} + x + 1)$

b)

$E(n) \leq 2n(n + 1) + 14 \iff 6(n^{2} + n + 1) \leq 2n(n + 1)$

$6n^{2} + 6n + 6 \leq 2n^{2} + 2n + 14$

$6n^{2} - 2n^{2} + 6n - 2n + 6 - 14 \leq 0$

$4n^{2} + 4n - 8 \leq 0 \ \ \Big|:4$

$n^{2} + n - 2 \leq 0 \iff (n + 2)(n - 1) \leq 0$

$n_{1} = -2; \ n_{2} = 1$

$n \in \mathbb{Z} \implies n \in \{-2;-1;0;1\}$