Question

26. Se considera triunghiul ABC cu m(A) = 90° si m(B) = 5 × m(C), iar punctul D este proiectia punctului A pe BC (desenul din poza).
a) Aratati ca unghiul <CAD are masura de 75°.
b) Demonstrati ca BC = 4 × AD.

Dau coroana numai la un raspuns intreg si corect. ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

ΔABC - ∡A+∡B+∡C= 180°

90°+5∡C+∡C=180°

5∡C+∡C=180-90

6∡C= 90°

∡C= 90 :6

∡C= 15°

∡B= 15*5=75°

-

ΔCAD -∡CDA= 90°

∡C=15°

∡CAD= 180-(90+15)

∡CAD= 180-105

∡CAD=75 °

-

b)

ΔBAC- ∡ A=90°

          -∡C= 15°

           -AD= inaltime

                 ↓

conform teoremei ∡ de 15 °( intr un triunghi dreptunghic lungimea înaltimii (AD) este 1/4 din ipotenuza (BC)

avem:

AD= BC/4

      ↓

BC= 4x AD

Answer 2

a)

$\it m(\hat B) = 5m(\hat C)\ \ \ \ \ (1)\\ \\ m(\hat B) +m(\hat C) =90^o \Rightarrow m(\hat B) = 90^o-m(\hat C)\ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 5m(\hat C)=90^o-m(\hat C) \Rightarrow 5m(\hat C)+m(\hat C) =90^o \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow6m(\hat C) =90^o|_{:6} \Rightarrow m(\hat C) =15^o$

$\it \Delta DCA -dreptunghic, m(\widehat{ADC})=90^o \Rightarrow m(DAC) =90^0-m(\hat C)=\\ \\ = 90^0-m(\hat C)=90^o-15^o=75^o$

b)

Ducem mediana AM corespunzătoare ipotenuzei.

AM = MB = MC= BC/2    (1)

(1) ⇒ ΔMCA-isoscel, AM = MC⇒ ∡ MAC = ∡C = 15°      (2)

∡(DMA) = unghi exterior triunghiului AMC ⇒∡(DMA) = ∡(MAC) + ∡C =

= 15° +15° =30°

Th. ∡ 30° în ΔDMA ⇒ AD= AM/2 ⇒  AM=2AD    (3)

(1), (3)⇒ BC/2 = 2AD | ·2 ⇒ BC = 4AD