Question

29. Cercurile de centru O, respectiv O' sunt tangente exterioare, MM' este tangenta lor comună exterioară, AB este tangenta lor comună interioară. Să se arate că: a) triunghiul OBO' este dreptunghic (B=MM'); b) triunghiul MAM' este dreptunghic (A este intersecţia cercurilor).
va rog daj coroana si 50 de puncte​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

AB ≡ MB și AB ≡ MB' (tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc dat sunt congruente)

a)

ΔMBO ≡ ΔABO și ΔM'BO' ≡ ΔABO'

∢MBO ≡ ∢ABO și ∢M'BO' ≡ ∢ABO'

=> ∢ABO + ∢ABO' = ½×180° = 90°

=> ΔOBO' este dreptunghic

b)

AB ≡ MB ≡ MB'

=> AB este mediană în ΔMAM'

=> ΔMAM' este dreptunghic

(dacă într-un triunghi lungimea unei mediane este egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare ei, atunci triunghiul este dreptunghic.)

$q.e.d.$

Answer 2

Cercurile de centru O, respectiv O' sunt tangente exterioare,

MM' este tangenta lor comună exterioară,

AB este tangenta lor comună interioară.

Să se arate că:

a) triunghiul OBO' este dreptunghic (B= intersecția MM' cu tangenta comună interioară.

b) triunghiul MAM' este dreptunghic (A este intersecţia cercurilor).

demonstrație

mă bazez pe egalitatea între tangente la un cerc MB=AB pentru cercul O

și M'B =AB ;=>MB=BM'

de asemenea OB _l_ MA și O'B _l_AM'

=>patrulaterul AGBH dreptunghi cu <G și <H =90⁰

=> <OBO'=<MAM'=90⁰

deci a) triunghiul OBO' este dreptunghic

b)triunghiul MAM' este dreptunghic