Question

[(2x+1)/3]={2+x}


[ ] partea intreaga
{ } partea fractionara

Answer 1

Salut,

Citește cu mare atenție toate cele de mai jos.

Membrul stâng este întotdeauna o valoare întreagă (pozitivă, sau negativă), pentru că este o parte întreagă, deci membrul stâng aparține mulțimii Z a numerelor întregi.

Asta înseamnă că și membrul drept este la fel, scriem asta:

{2 + x} ∈ Z (1)

Pe de altă parte, {2 + x} ∈ [0, 1) (2), pentru că este parte fracționară.

Din (1) și (2) avem că {2 + x} = 0 (3), pentru că 0 este singura valoare care îndeplinește condițiile (1) și (2), adică este singura valoare întreagă din intervalul [0, 1).

Din (3) avem că:

2 + x = k (4), unde k ∈ Z (dacă partea fracționară a lui 2 + x este 0, atunci 2 + x este număr întreg, pentru că orice număr întreg are partea fracționară nulă).

Tot din (3) rezultă că:

$\left[\dfrac{2x+1}3\right]=0\Rightarrow 0\leqslant\dfrac{2x+1}3< 1.$

Dacă un număr are partea întreagă egală cu 0, înseamnă că acel număr ia valori în intervalul [0, 1).

Înmulțim cu 3 dubla inecuație de mai sus și avem că:

0 ≤ 2x + 1 < 3, scădem pe 1 din această nouă inecuație dublă:

--1 ≤ 2x < 2, împărțim la 2 această inecuație dublă:

--1/2 ≤ x < 1, adăugăm 2 la asta (pentru a obține 2 + x = k):

3/2 ≤ x + 2 < 3 ⇔ 3/2 ≤ k < 3.

Dar k este număr întreg. Singura valoare întreagă din intervalul [3/2, +3) este 2, deci k = 2.

2 + x = k, deci 2 + x = 2 ⇒ x = 0, care este singura soluție a ecuației din enunț.

Verificăm soluția: pentru x = 0 avem că (2x + 1)/3 = 1/3, iar [1/3] = 0 și

pentru x = 0 avem că {2 + x} = {2 + 0} = {2} = 0, deci 0 = 0, asta înseamnă că rezolvarea este corectă.

Ai înțeles ?

Green eyes.

P.S. Foarte, foarte frumoasă ecuație, a fost o plăcere să o rezolv :-))).

Green eyes.