Question

|2x-1|/|3x+1| +1 <0 ( primul modul este supra tot adica supra |3x+1| +1

Answer 1

Primul caz: 2x - 1 ≥ 0, adica x ≥ 1/2:

Daca x ≥ 1/2, atunci si 3x + 1 va fi sigur pozitiv, deci |3x + 1| = 3x + 1 si |2x - 1| = 2x -1
Relatia devine:
(2x - 1)/(3x + 1 + 1) < 0
(2x - 1)/(3x + 2) < 0

Exista doua cazuri:
2x - 1 < 0 si 3x + 2 > 0, nu este posibil pentru ca am presupus ca 2x - 1 ≥ 0
si
2x - 1 > 0 si 3x + 2 < 0
x > 1/2
si 3x < -2
x < - 2/3
Fals si acesta, x nu poate fi negativ si > 1/2 in acelasi timp!

Al doilea caz:
2x - 1 < 0, adica x < 1/2, adica |2x - 1| = - 2x + 1
Analizam ce se intampla in acest caz cu |3x + 1|:
3x + 1 < 0, deci x < -1/3
sau
3x + 1 > 0, deci x > -1/3

Ambele cazuri pot fi posibile, deci sa le verificam pe rand:
x < -1/3, |3x + 1| = - 3x - 1
(-2x + 1)/ (-3x - 1 + 1) < 0
(-2x + 1)/ (-3x) < 0
2/3 -1/3x < 0
1/3x > 2/3 inmutim cu 3
1/x > 2
2x < 1
x < 1/2 satisface conditia initiala, deci este solutie

Urmatorul subcaz:  1/2 > x > - 1/3:
|3x + 1| = 3x + 1
(-2x + 1)/ (3x + 1 + 1) < 0
(-2x + 1) / (3x + 2) < 0
Avem variantele:
- 2x + 1 > 0 si 3x + 2 < 0
x < 1/2 si x < -2/3, dar x > -1/3 deci aceasta solutie nu este buna

A doua varianta:
- 2x + 1 < 0 si 3x + 2 > 0
x > 1/2 si x > - 2/3 nu se poate pentru ca am presupus ca x < 1/2