Question

3) a) Calculati sumele :
2+4+6+...+2014 .
b) 2 la puterea 1 + 2² +2³ +..+2 la puterea 2014

4) Se considera multimile : A={x ∪ ℕ / 3 ≤ x +1 ≤ 7 }
B = { y ∈ ℕ / y = 2 la puterea x - 1 ; x ∈ A } ; C = { z ∈ ℕ / z = y - 3 ; y ∈ B } Determinati multimile : A , B, C ; A ∩ B ∩ C ; ( A ∪ B ) - C ; ( C -B ) ∪ A , A∪ B∪C

Answer 1

3. a) 2 + 4+ 6+ 8+....+ 2014=                  b)2¹₊2²₊2³+ ...+2²⁰¹³₊2²⁰¹⁴= ?          
       2·1+ 2·2+2·3+2· 4+ ...+2·100=          
       2·1+ 2+ 3+ 4+...+1 002)=
       2·1 002·1 003:2=
       1 002·1 003=
       1 005 006

    b) 2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴= ? 
        n= 2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴    Se înmulţeşte fiecare braţ cu 2 !
     2·n= 2·( 2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴)
     2·n- n= ?
     2·n= 2·( 2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴)-
        n= 2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴        
   2n- n= 2²+ 2²+ 2⁴+ 2⁵+ ....+ 2²⁰¹⁴+ 2²⁰¹⁵- (2¹₊ 2²₊ 2³+ ...+ 2²⁰¹³₊ 2²⁰¹⁴  ) 
         n=2²+ 2²+ 2⁴+ 2⁵+ ....+ 2²⁰¹⁴+ 2²⁰¹⁵-  2¹ -2²- 2³.-2⁴-2⁵-... -2²⁰¹⁴   
         n=2²⁰¹⁵- 2                                        

4.   A={x ∪ ℕ / 3 ≤ x +1 ≤ 7 }
      B = { y ∈ ℕ / y = 2 la puterea x - 1 ; x ∈ A } 
      C = { z ∈ ℕ / z = y - 3 ; y ∈ B }                                   
      A = ?
      B = ?
      C = ?
      A ∩ B ∩ C = ?
       ( A ∪ B ) - C = ?
      ( C -B ) ∪ A =?
       A∪ B∪C= ?

A={x ∪ ℕ / 3 ≤ x +1 ≤ 7 }        B = { y ∈ ℕ / y = 2 la puterea x - 1 ; x ∈ A }  
A={2; 3; 4; 5; 6}                      B={ 1}
3 ≤ x +1 ≤ 7                              y=2²⁻²    ⇒  y= 2⁰    y= 1
3 ≤ x +1            x +1 ≤ 7            y=2²⁻³   ⇒   y=2⁻¹ ∉IN   
3-1≤ x               x≤7- 1               y=2²⁻⁴   ⇒   y=2⁻² ∉IN
2≤x₁                   x₂≤ 6              y=2²⁻⁵   ⇒   y=2⁻³ ∉IN
 x₁Π x₂=[2;6]                             y=2²⁻⁶   ⇒  y=2⁻⁴  ∉IN

C = { z ∈ ℕ / z = y - 3 ; y ∈ B }
C={Ф}
z=1- 3
z= -2 ∉IN
z=Ф, multime vida

  A ∩ B ∩ C ={Ф}                          ( A ∪ B ) - C = ?
 {2;3;4;5;6}∩ {1} ∩{Ф}={Ф}            {2;3;4;5;6}U  {1} -{Ф}=
                                                   {1;2;3;4;5;6.}- {Ф}=
                                                   {1;2;3;4;5;6.}

 ( C -B ) ∪ A =?                                 A∪ B∪C= ?
 {Ф}- {1}U{2;3;4;5;6}                           {2;3;4;5;6}U  {1} U{Ф}=
 {Ф}U{2;3;4;5;6}=                               {1;2;3;4;5;6.}U {Ф}=
 {2;3;4;5;6}                                       {1;2;3;4;5;6.}