Question

3. Determinați numerele a și b, ştiind că a ×b = 648 și [a, b] = 108.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Din formula (a,b) * [a,b]  = a * b rezulta (a,b) = 6 .  De aici deducem ca exista numerele naturale nenule t si u astfel incat a = 6 * t si b = 6 *u si (u,t) = 1 .

Avem ca a * b= 648 , adica 6 * t * 6 * u = 648 , de unde t * u = 18 .

Stiind ca t si u sunt numere naturale si (u,t) gasit urmatoarele perechi posibile:

t = 1 si u = 18 =>  a = 6 si b = 108

t = 2 si u = 9 =>  a = 12 si b = 54

t = 9 si u = 2 => a = 54 si b = 12

t = 18 si u = 1  => a =  108 si b = 6

Solutia este (a,b) ∈ { (6,108), (108,6), (12,54), (54,12)}

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Se cunoaște relația:  (a, b) · [a, b] = a·b. Înlocuind, ⇒ (a, b)·108=648, ⇒

(a, b)=648:108, ⇒ (a, b)=6.

Deci a=6·x, b=6·y, unde (x, y)=1, adică x și y sunt prime între ele.

Din a·b=648, ⇒ 6·x·6·y=648, ⇒ 36·x·y=648, ⇒ x·y=648:36, ⇒ x·y=18. Alegem perechile x, y prime între ele...

x·y=18 = 1·18 = 2·9 = 9·2 = 18·1.

Deci perechile a, b valabile sunt:  a, b = (6·1, 6·18);  (6·2, 6·9);  (6·9, 6·2); (6·18, 6·1).

Răspuns:  (a, b)∈ {(6, 108), (12, 54), (54, 12), (108, 6)}.