Question

3. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 8 cm şi muchia laterală AA' = = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului A'C'.
a) Calculaţi distanţa de la punctul A' la dreapta BC.
b) Determinați măsura unghiului format de planele A (A’BC) şi (ABC).
c) Demonstrați că planele (B'MC) şi (ACC') sunt perpendiculare.​

Answer 1

a) Primul pas este de a determina înălţimea prismei triunghiulare regulate. Înălţimea unei prisme triunghiulare regulate se poate calcula folosind formula: h = √(r^2 - a^2/4), unde r este raza cercului circumscris triunghiului (raza cercului care trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului) și a este lungimea muchiei triunghiului.

În cazul nostru, raza cercului circumscris triunghiului este egală cu jumătate din lungimea muchiei laterale a prismei, adică r = 4 cm / 2 = 2 cm. Lungimea muchiei triunghiului este egală cu lungimea muchiei bazei a prismei, adică a = 8 cm. Deci, înălţimea prismei este:

h = √(r^2 - a^2/4) = √(2^2 - 8^2/4) = √(-24) = 4√3 cm

Acum că am determinat înălţimea prismei, putem calcula distanţa de la punctul A' la dreapta BC. Dreapta BC este paralelă cu baza prismei și trece prin vârful prismei, deci este perpendiculară pe înălţimea prismei. Punctul A' se află în planul bazei prismei, deci distanţa de la punctul A' la dreapta BC este egală cu înălţimea prismei, adică:

distanta de la punctul A' la dreapta BC = h = 4√3 cm

b) Unghiul format de planele A (A’BC) și (ABC) este unghiul dintre cele două plane, care este egal cu unghiul dintre înălţimea prismei și baza prismei. Unghiul dintre înălţimea prismei și baza prismei este un unghi de 30 de grade, deoarece într-o prismă triunghiulară regulată, unghiul dintre înălţime și bază este întotdeauna de 30 de grade.

Deci, măsura unghiului format de planele A (A’BC) și (ABC) este de 30 de grade.