3. Fie prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu secțiunea diagonală un pătrat cu latura de
12v2 cm. Aflați
a) D'O, unde O este centrul bazei ABCD.
b) Distanţa de la punctul D la BD'.
c) Distanta de la punctul D la planul (AD'C).
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
BDD'B' sectiune diagonala, patrat, deci BD=BB'=12√2cm. Atunci AB=AD=12cm.
a) Deoarece prisma este regulata, ⇒D'O oblica la (ABC), D'D⊥(ABC), ⇒
DO = pr(ABC)D'O. ΔD'DO dreptunghic in D, ⇒D'O²=D'D²+DO²=(12√2)²+(6√2)²=12²·2+6²·2=6²·(4·2+2)=6²·10. deci D'O=6√10cm.
b) BDD'B' patrat, deci BD' diagonala patratului, ⇒BD'=BD·√2=12√2·√2=12·2=24cm.
⇒ΔBD'D dreptunghic isoscel cu ipotenuza D'B. Atunci d(D,D'B)=DE, unde E∈D'B, DE⊥D'B, deci D'B este mediana si inaltime, deci DE=(1/2)·D'B=(1/2)·24=12cm=d(D,D'B).
c) d(D,(AD'C))=???
(AD'C)∩(ABC)=AC. D'A=D'C, ⇒ΔAD'C isoscel cu baza AC. AO=OC, ⇒D'O⊥AC. Dar AC⊥BD, ⇒AC⊥(DD'O), deci d(D,(AD'C))=d(D,D'O)=DF, unde DF⊥D'O, F∈D'O.
Din formula ariei, ⇒Aria(ΔDD'O)=(1/2)·DO·DD'=(1/2)·D'O·DF. Inlocuind, ⇒
6√2·12√2=6√10·DF |:6, ⇒24=√10·DF, ⇒DF=24/√10=24√10 / 10 =2,4√10cm=d(D,(AD'C)).
