Question

3. in A MNP, având &M=75° și &N=60°, construim MQINP, QE NP. Notăm H' simetricul ortocentrului H faţă de punctul Q. a) Arată că NH=NH'
b) artă că NH' || MP
​

Answer 1

H' simetricul ortocentrului H faţă de punctul Q atunci HQ=QH'

∡M=75°

∡N=60°⇒ ∡P=180-(60+75)=45° (suma unghiurilor unui triunghi este egala cu 180°)

a) MQ⊥NP⇒ NQ⊥HQ

Dar HQ=QH'⇒ NQ este si inaltime si mediana ⇒ΔNHH' este isoscel⇒ NH=NH'

b) Fie NE⊥MP

∡P=45°

∡HEP=90°

∡HQP=90°⇒ ∡EHQ=360-(45+90+90)=135° (suma unghiurilor unui patrulater este egala cu 360°)

Daca ∡EHQ=135°⇒∡MHE=∡NHQ=180-135=45° (opuse la varf)

In ΔNHQ. ∡NQH=90° si ∡NHQ=45°⇒ ∡HNQ=45°

Dar ΔNHH' este isoscel ⇒∡ HNH'=45×2=90°⇒ H'N⊥NE (1)

Stim  ca PE⊥NE (2)

Din (1) si (2)⇒ H'N║PE , dar E∈MP⇒ H'N║MP