Question

3. In figura alatutata este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic In A, AB -8 cm, AC 8radical3 cm, M este mijlocul laturii BC a) Calculeaza perimetrul triunghiului AMC b) Determina lungimea segmentului CD, CD perpendicular AM, De AM c) Arata ca lungimea segmentului BD este egala cu 4radical7​

Answer 1

M mijlocul lui BC ⇒AM mediana

Mediana intr-un triunghi dreptunghic este egala cu jumatate din ipotenuza

a) Aflam BC din Teorema lui Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

BC²=AB²+AC²

BC²=64+196

BC²=256

BC=16 cm

AM=16:2=8 cm

MC=BC:2=8 cm

Perimetrul ΔAMC=AM+MC+AC=8+8+8√3=16+8√3 cm

b) Daca AB=8 cm si BC=16 cm ⇒ Reciproca ∡30° (Latura care se opune ∡30° este jumatate din ipotenuza) ⇒ ∡ACB=30°

ΔAMC este isoscel (AM=MC)

∡C=30°⇒ ∡AMC=180-(30+30)=120°

∡CMD=180-∡AMC

∡CMD=180-120=60°

ΔCMD dreptunghic in D⇒ ∡MCD=30°⇒ Teorema ∡30°⇒ 2MD=MC

MD=8:2=4 cm

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

CM²=MD²+CD²

64=16+CD²

CD²=48

CD=4√3 cm

c) AD=AM+MD=8+4=12 cm

Mediana imparte triunghiul in doua arii egale

MD mediana in ΔBDC

$A_{CMD}=\frac{MD\times CD}{2} =\frac{4\times 4\sqrt{3} }{2} =8\sqrt{3} =A_{BMD}$

Aplicam aria triunghiului cu semiperimetrul (Formula lui Heron)

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

p=semiperimetru (jumatate din perimetru)

a,b,c laturile triunghiului

Notam BD=x

$p=\frac{BM+MD+BD}{2} =\frac{8+4+x}{2}=\frac{12+x}{2}$

$(8\sqrt{3}) ^2=\frac{12+x}{2}( \frac{12+x}{2}-8)(\frac{12+x}{2}-4)(\frac{12+x}{2}-x)\\\\192=\frac{(12+x)(x-4)(4+x)(12-x)}{16}$

16×192=(144-x²)(x²-16)

3072=(144-x²)(x²-16)

Daca x=4√7 atunci 3072=3072 (adevarat)

144-x²=32 si x²-16=96

BD=4√7 cm

Un exercitiul similar gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1807785

#SPJ1