Question

3. Pe latura AB a triunghiului ABC dreptunghie in A, cu AC=8cm si BC =16 cm, se consideră punctul
D astfel încât suma măsurilor unghiurilor ADC si ABC să fie 90°. Pe latura BC se consideră punctul E
astfel încât DEI BC.
a) Determinați aria triunghiului ABC.

b) Arătaţi că unghiul CDE are măsura de 60°.

Answer 1

Răspuns:

a) Aria Δ ABC = $32\sqrt{3} cm^{2}$

b) ∠CDE = 60°

Explicație pas cu pas:

a) Aria Δ ABC = $\frac{1}{2}$ (a·h), unde a = AC, iar h = AB

Pentru a afla AB, vom aplica teorema lui Pitagora:

$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2}\\\\AB^{2} = 16^{2} - 8^{2} \\\\AB = \sqrt{256 - 64}\\\\AB = \sqrt{192} = \sqrt{64*3} = 8\sqrt{3} cm$

Aria Δ ABC = $\frac{1}{2}*8*8\sqrt{3} =\frac{64\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} cm^{2}$

b) Aflăm măsura ∠ACB:

$cos(ACB) = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

⇒ ∠ACB = 60°

⇒ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 90° - 60° = 30°

Din sarcina problemei se cunoaște că ∠ADC + ∠ABC = 90°

⇒ ∠ADC = 90° - 30° = 60°

Să examinăm Δ ADC:

∠DAC = 90°; ∠ADC = 60°;

⇒ ∠DCA = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 90° - 60° = 30°

Să examinăm ∠DCA și ∠ECD - ele sunt unghiuri adiacente, care formează ∠ACB.

⇒ ∠ACB = ∠DCA + ∠ECD

⇒ ∠ECD = ∠ACB - ∠DCA = 60° - 30° = 30°

Să examinăm Δ CDE - este un triunghi dreptunghic cu ∠DEC = 90°; ∠ECD = 30°;

⇒ ∠CDE = 180° - ∠DEC - ∠ECD = 180° - 90° - 30° = 60°