Question

3) Pentru a, b € Z definim
a*b=
$\frac{a + b + |a - b| }{2}$
a°b=
$\frac{a + b - |a - b| }{2}$


a) Calculați 4°5; 5°4; 3*4; 4*3.
b) Arătaţi că a*b=max{a,b} și
a°b=min{a,b}.
c) Arătaţi că a*(b°c)=(a*b)°(a*c).​

Answer 1

a) 4°5=$\frac{4 + 5 - |4 - 5| }{2}$=

=$\frac{9 - |-1| }{2}$=

=$\frac{9-1}{2}$=

=$\frac{8 }{2}$= 4

5°4=$\frac{5 + 4 - |5- 4| }{2}$=

=$\frac{9 - 1}{2}$=

=$\frac{8 }{2}$=4

3*4=$\frac{3 + 4 + |3 - 4| }{2}$=

=$\frac{7+ |-1| }{2}$=

=$\frac{7+ 1}{2}$=

=$\frac{8}{2}$=4

4*3=$\frac{4+ 3+ |4- 3| }{2}$=

= $\frac{7 +1 }{2}$=

= $\frac{8 }{2}$=4

b) a $\geq$ b $\Rightarrow$ a-b $\geq$ 0

a-b = | a-b |

a*b = $\frac{a + b + |a - b| }{2}$=

=$\frac{a + b + a - b }{2}$=

=$\frac{2a}{2}$= a$\Rightarrow$ max(a,b)

a°b=$\frac{a + b - |a - b| }{2}$=

=$\frac{a + b -a +b| }{2}$=

=$\frac{2b }{2}$= b$\Rightarrow$min(a,b)

c) a*(b°c)=(a*b)°(a*c)

b°c=$\frac{b + c - |b - c| }{2}$=

=$\frac{b + c - b + c}{2}$=

=$\frac{2c}{2}$=c

a*c= $\frac{a + c + |a - c| }{2}$=

=$\frac{a + c + a - c }{2}$=

=$\frac{2a }{2}$=a

a*b = a ( de la punctul b)

a*c= a ( de mai sus)

din cele două rezultă:

a°a= $\frac{a + a - |a - a| }{2}$=

=$\frac{a + a - a +a }{2}$=

=$\frac{2a }{2}$=a

Ambele au rezultatul "a", deci egalitatea este verificată. e corectă.