Question

3. Punctele A, B, C din figura alăturată marchează locurile unde au fost instalate taberele în timpul ascensiunii. În triunghiul ABC (AB<AC) , (AN bisectoarea unghiulyu BAC, N € (BC) AM perpendicular BC. M € (BC).
DEMONSTREAZA CA m (ung MAN)= 1/2[m (ung ABC)- m(ung ACB)].​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\hat A + \hat B + \hat C = 180 \degree$

$\frac{\hat A + \hat B + \hat C}{2} = 90\degree \iff \frac{\hat A}{2} = 90\degree - \left(\frac{\hat B}{2} + \frac{\hat C}{2}\right)$

AN bisectoare => ∢BAN ≡ ∢CAN = ½•m(∢A)

în ΔAMB dreptunghic:

m(∢BAM) = 90° - m(∢ABM) = 90° - ∢B

$m(\angle MAN) = m(\angle BAN) - m(\angle BAM) = \\ = 90\degree - \left(\frac{\hat B}{2} + \frac{\hat C}{2}\right) - (90\degree - \hat B) \\ = 90\degree - \frac{\hat B}{2} - \frac{\hat C}{2} - 90\degree + \hat B = \hat B - \frac{\hat B}{2} - \frac{\hat C}{2} \\ = \frac{\hat B}{2} - \frac{\hat C}{2} = \frac{\hat B - \hat C}{2}$

$\iff \red{\bf m(\angle MAN) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\widehat {ABC}}{2} + \frac{\widehat {ACB}}{2}\right)}$