Question

3. Să se arate că numărul a = 9 + 9² +9³ +...+9la puterea2018 este divizibil cu 90.
​

Answer 1

► Dam factor comun 9 :

$a = 9(1+9+9^3+....+9^{2017})$

Deoarece a este de forma 9 inmultit cu un numar natural inseamna ca a este divizibil cu 9.

► Grupam termenii cate 2 si dam factor cumun intre ei :

$a=9(1+9) + 9^3(1+9) + 9^5(1+9) + ... + 9^{2017}(1+9)\\a=9*10 + 9^3*10+9^5*10 + ... +9^{2017}*10$

Putem da 10 factor cumun :

$a=10(9+9^3+9^5+...+9^{2017})$

Deoarece a este de forma 10 inmultit cu un numar natural inseamna ca a este divizibil cu 10.

► Pentru ca

• Numerele 9 si 10 sunt prime intre ele
• a este divizibil cu 9
• a este divizibil cu 10

Rezulta ca a este divizibil cu 90