Question

(3+$3^{3}$+$3^{5}$+....+$3^{19}$) este divizibil cu 30.Demonstratie

Answer 1

notez suma ta cu S, deci:

S=3+3^3+...+3^19
S divizibil cu 30 daca este divizibil cu 3*10, adica daca este divizibil si cu 3 si cu 10
S este divizibil cu 3, evdent, fiind o suma de numere divizibile cu 3. deci tot ce trebuie sa mai arati este ca Suma este divizibila cu 10;
Adica trebuie sa arati ca ultima cifra a sumei este 0 (un nr este divizibil cu 10 daca ultima cifra este 0)

cum puterile tale cresc din 2 in 2...ai (19-1)/2 +1 termeni, adica 10 termeni.
scriem toti termeni si avem:
S=3^1+3^3+3^5+3^7+3^9+3^11+3^13+3^15+3^17+3^19
Notez U ( ) = ultima cifra a ce e in paranteza EX: U(123)=3
cum
U(3)=3
U(3^3)=7
 U(3^5)=3
 U(3^7)=7 observi ca se repeta din 2 in 2
avem 10 termeni=>
deci U(S)=U(3^1+...+3^19)=U( (3+7)+(3+7) +...+(3+7) )=
                                           =U( 10*10 )=U(100) =0
deci suma se termina in 0, deci este divizibila cu 10
 iar cum suma are toti termeni divizibili cu 3 => suma este divizibila cu 3 => suma este divizibila cu 30