Question

3^x+4^x+5^x=6^x
cum il aflu pe x?

Answer 1

$3^{x} + 4^{x} + 5^{x} = 6^{x}| : 6^{x} \\ (\frac{3}{6})^{x} + (\frac{4}{6})^{x} + (\frac{5}{6})^{x} - 1 = 0$

Vedem ca fiecare fractie este subunitara (<1)
deci:

$(\frac{3}{6})^{x}$ -> f. descrescatoare.
$(\frac{4}{6})^{x}$ -> f. descrescatoare.
$(\frac{5}{6})^{x}$ -> f.descrescatoare.

Notam: $f(x) = (\frac{3}{6})^{x} + (\frac{4}{6})^{x} + (\frac{5}{6})^{x} - 1$
-> functie descrescatoare.
f(x) = 0 --> intersectia Gf cu axa Ox

pt:  x → -∞ ⇒ f(x) → ∞
     x → +∞ ⇒ f(x) → -1

=> Exista un singur punct A(x1,0) unde Gf taie axa Ox, deci, exista doar o singura solutie.
Observam ca x=3 verifica ecuatia:
$(\frac{3}{6})^{3} + (\frac{4}{6})^{3} + (\frac{5}{6})^{3} - 1 =\\ =\frac{27 + 84 + 125}{216} - 1 =\\ = \frac{216}{216} -1 = 0$

x=3, solutia problemei.