Question

30 Calculați raportul numerelor a și b dacă: 1 1 1 1 1 1 1 a + + t...t şi b= + 1.2 2.3 3.4 42.43 2.3 3.4 4.5 Rezolvare: + 1 125 126
​

Answer 1

Răspuns:

Calculăm a și b, folosind sumele telescopice:

$a = \frac{2-1}{1*2} + \frac{3-2}{2*3} + \frac{4-3}{3*4} +... + \frac{43-42}{42*43} =$

$= \frac{2}{2} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{42}- \frac{1}{43}=$

(observăm că majoritatea termenilor se anulează reciproc)

$a=1 - \frac{1}{43}=\frac{43-1}{43}=\frac{42}{43}$

$b = \frac{3-2}{2*3} + \frac{4-3}{3*4} + \frac{5-4}{4*5} +... + \frac{126-125}{125*126} =$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\frac{1}{4}- \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{125}- \frac{1}{126}=$

(la fel, observăm că majoritatea termenilor se anulează reciproc)

$b=\frac{1}{2} - \frac{1}{126}=\frac{63-1}{126}=\frac{62}{126} =\frac{31}{63}$

$\frac{a}{b} =\frac{\frac{42}{43} }{\frac{31}{63} } =\frac{42}{43} * \frac{31}{63}=\frac{2}{43} * \frac{31}{3}=\frac{62}{129}$

Explicație pas cu pas: