Question

30 DE PUNCTE!
Se considera:
A= 1/2+2/3+3/4+...+n/n+1
B=1 intreg si 1/2+ s intregi si 1/3+ 3 intregi si 1/4+...+n intregi si n/n+1
n=N*
Aratati ca A+B-2n este natural.

Answer 1

$A+B=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}+1+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{3}+...+n+\frac{1}{n+1}=$
$1+2+...+n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{n}{n+1}+\frac{1}{n+1}=$
$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}+...+\frac{n+1}{n+1}=$
$\frac{n(n+1)}{2}+1+1+...+1=$
$\frac{n(n+1)}{2}+n=$
$A+B-2n=\frac{n(n+1)}{2}+n-2n=$
$\frac{n(n+1)}{2}-n=$
$\frac{n(n+1)-2n}{2}=$
$\frac{n(n+1-2)}{2}=$
$\frac{n(n-1)}{2}$
$Dintre~doua~numere~consecutive~unul~este~par~si~celalalt~impar,~deci~produsul~lor~este~par$
$\Rightarrow\exists x\in\mathbb{N},~a.i~n(n-1)=2x$
$A+B-2n=\frac{2x}{2}=x\in\mathbb{N}$