Question

31. In triunghiul ABC, CM este mediană, iar (AA' este bisectoarea unghiului BAC, unde ME AB și A' E BC. Dacă AC = 10 cm și AA' 1 CM, calculați lungimea laturii AB.​

Answer 1

Fie AM ∩ AC={N}

Din N ducem inaltimile NP si NT

NP⊥ AM si NT ⊥AC

NP=NT (1) (orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului)

AN latura comuna (2)

APN si ATN dreptunghice (3)

Din (1) (2) si (3)⇒  I.C ⇒ΔAPN≡ΔATN ⇒AP=AT

Cazurile de congruenta ale triunghiurilor dreptunghice pe care le vom folosi mai jos:

I.C (ipotenuza-cateta)=doua triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele, respectiv cate o cateta congruente, sunt congruente

C.U (cateta-unghi)=doua triunghiuri dreptunghice care au cate o cateta si un unghiul ascutit alaturat acesteia respectiv congruente, sunt congruente

∡ANP=∡ANT=x

∡PNM=90°-x

∡TNC=90°-x

⇒ ∡PNM=∡TNC (1)

NP=NT (2)

Din (1) si (2) ⇒ C.U ΔPMN≡ΔTCN⇒ MP=TC

AT+TC=AC

AP+PM=AC

AP+PM=10

AM=10 cm

AM=MB (CM mediana)

AM=MB=10

AB=AM+MB=10+10=20 cm

Raspuns: AB=20 cm