Question

34 Arătaţi că numărul x este natural, unde: x= Rezolvare: 1 1 1 1 1+2 1+2+3 1 1+2+3+...+100 101 99​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

La final, la numitor, este 100 în loc de 99

$x = \Big( \frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + ... + \frac{1}{1 + 2 + 3 + ... + 100} \Big) \cdot \frac{101}{100} =$

$= \Big( \frac{1}{1} + \frac{1}{ \frac{2 \cdot 3}{2} } + \frac{1}{ \frac{3 \cdot 4}{2} } + ... + \frac{1}{ \frac{100 \cdot 101}{2} } \Big) \cdot \frac{101}{100}$

$= \Big(1 + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + ... + \frac{2}{100 \cdot 101} \Big) \cdot \frac{101}{100}$

$= \Big[1 + 2 \cdot \Big(\frac{1}{2} - \not \frac{1}{3} + \not \frac{1}{3} - \not \frac{1}{4} + ... + \not \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \Big)\Big] \cdot \frac{101}{100}$

$= \Big[1 + 2 \cdot \Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{101} \Big)\Big] \cdot \frac{101}{100}$

$= \Big(1 + 1 - \frac{2}{101} \Big) \cdot \frac{101}{100} = \Big(2 - \frac{2}{101} \Big) \cdot \frac{101}{100}$

$= \frac{200}{101} \cdot \frac{101}{100} = \bf \frac{200}{100} = 2$

q.e.d.

(dacă rezolvăm cu 99, numărul x nu este natural, se obține: 200/99)