Question

37. a) Arătaţi că 1 +2+3+ ... +n=[n (n+1)] : 2, pentru orice număr natural n. 1. b) Calculaţi suma S= 1 + 2 + 3 + ... + 100. c) Calculaţi suma S=1+3+5+ ... +99. d) Arătați că 1+3+5+ ... + (2n - 1) = n2, pentru orice număr natural nenul. Am nevoie va rog!​

Answer 1

a. Vom demonstra că propoziția

             $P(n):1+2+3+\cdots+n = \displaystyle\frac{n(n+1)}2,\, n\in\mathbb{N}^*$

este adevărată, folosind inducția matematică.

Etapa de verificare:

    $P(1):1=\displaystyle\frac{1(1+1)}2\,(A)$

Etapa de demonstrare:

    Presupunem propoziția $P(k):1+2+3+\cdots +k = \displaystyle\frac{k(k+1)}2,\,k>1$ adevărată.

    Demontrăm că propoziția $P(k+1):1+2+3+\cdots+k+(k+1) = \displaystyle\frac{(k+1)[(k+1)+1]}2$ este adevărată.

$\underbrace{1+2+3+\cdots+k}_{\text{\c stim c\u a P(k) este adev\u arat\u a}}+(k+1) = \displaystyle \frac{k(k+1)}2+(k+1) =\\= \frac{k(k+1)+2(k+1)}2 = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\text{ ceea ce trebuia demonstrat}\\\\\Rightarrow[P(k)\Rightarrow P(k+1),\,k\geq1]\Rightarrow P(n)\text{ adev\u arat\u a},\,\forall n\in\mathbb{N}^*$

b.

$S = 1+2+3+\cdots+100 \overset{\text{conform a)}}{=}\displaystyle \frac{100\cdot101}2=50\cdot101$

c. $S = 1+3+5+\cdots+99$

Această sumă este, de fapt, suma de la punctul b) din care scădem suma numerelor pare, adică:

    $S = 1 +3+5+\cdots+99=(1+2+\cdots+99+100)-2-4-\cdots-100=\\\overset{\text{conform b)}}{=}50\cdot101-2(1+2+3+\cdots+50) = \\\overset{\text{conform a)}}{=}50\cdot101-2\displaystyle\frac{50\cdot51}{2}=50\cdot101-50\cdot51=50(101-51) = 50^2$

d. Vom proceda ca la punctul a) și vom demonstra că propoziția

         $P(n):1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\,\forall n\in\mathbb{N}^*$

este adevărată, folosind inducția matematică.

Etapa de verificare:

    $P(1):1=1^2\,\,(A)$

Etapa de demonstrare:

    Presupunem propoziția $P(k):1+3+\cdots+(2k-1) = k^2,\,k>1$ adevărată. Demonstrăm că propoziția $P(k+1):1+3+\cdots+(2k-1)+[2(k+1)-1]=(k+1)^2$ este adevărată.

$\underbrace{1+3+5+\cdots+(2k-1)}_{\text{\c stim c\u a P(k) este adev\u arat\u a}}+[2(k+1)-1]=k^2+2(k+1)-1=\\=k^2+2k+1=(k+1)^2\text{ ceea ce trebuia demonstrat}\\\Rightarrow [P(k)\Rightarrow P(k+1), \forall k\geq1]\Rightarrow P(n)\text{ adev\u arat\u a},\,\forall n\in\matbb{N}^*$