Question

38. a)aratati că, oricare ar fi numarul n apartine Z numărul M=n3 - n se divide cu 6. b) arătati ca oricare ar fi numarul n apartine Z,numarul N=n5-n se divide cu 30.​

Answer 1

Răspuns:

a)M=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1*n*(n+1)

M este produs de 3 numere consecutive, dintre care cel puțin unul se divide cu 2

Oricare ar fi cele 3 numere consecutive unul dintre ele se divide cu 3

Astfel M este divizibil cu 2 și cu 3 =este divizibil cu 2*3=6

b) N=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+1)=M*(n²+1) este divizibil cu 6

N=M*(n²-4+5)=M*[(n-2)(n+2)+5]=M*(n-2)(n+2)+M*5

N=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+n(n-1)(n+1)*5

N este divizibil cu 5 pentru că:

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) este produs a 5 numere consecutive din care unul este sigur divizibil cu 5 și n(n-1)(n+1)*5 este divizibil cu 5

Daca N este divizibil cu 5 și cu 6= este divizibil cu 5*6=30