Question

3x+4y=34, cu x, y numere naturale
a)Demonstrati ca x este numar par
b)Aflati numerele prime x si y care satisfac egalitatea de mai sus

Answer 1

a)  3x+4y=34
     3x = 34 - 4y
     3x = 2·17 - 2·2·y
     3x = 2·(17 - 2y)
     2x+x  = 2·(17 - 2y) (deoarece 3x = 2x+x)
În dreapta egalului avem un număr par (deoarece orice număr de forma 2·k unde k∈N este par). Ceea ce înseamnă că suma (2x+x) este un număr par.
Acum, în cadrul sumei avem 2x - un număr par (deoarece orice număr de forma 2·k unde k∈N este par).
Există două cazuri: fie x - impar, fie x - par.

Dacă x este impar, atunci
                           (nr. par + nr. impar) = nr. impar
(deoarece suma dintre un număr par și un număr impar este întotdeauna un număr impar). Aceasta conduce la o afirmație neadevărată în cazul nostru unde am văzut că în dreapta egalului avem un număr par, respectiv 2·(17 - 2y).

Concluzionăm că singurul mod în care putem avea un număr par în dreapta egaului este când x este par.

b) Dacă x este par, așa cum am văzut la punctul a), atunci x = 2 deoarce 2 este singrul număr prim care este par. Așadar avem
 3x+4y=34 ⇒ 3·2 +4·y = 34
                      6 + 4y = 34
                     4y = 34 - 6
                     4y = 28
                     y = 7 (care este deasemenea un număr prim)