Question

4 44 Trei numere naturale nenule a, b, c îndeplinesc condițiile: b este egal cu 7 2 din suma celorlalte două, iar produsul P al celor trei numere se divide prin suma lor S ~/3 a Arătați că S se divide prin 275. b Verificați dacă este multiplu de 2 520. P S c Aflați cele mai mici numere a, b, c. din a; c este - Exer Rez 2 A Exe​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$b = \dfrac{4}{7} \cdot a$

$(4;7) = 1 \implies a = 7m \ , \ m \in \mathbb {N^{\ast}} \\ \implies b = 4m$

$c = \dfrac{2}{3} \cdot (a + b) = \dfrac{2}{3} \cdot (7m + 4m) = \dfrac{22m}{3} \\(22;3) = 1 \implies m = 3k \ , \ k \in \mathbb {N^{\ast}} \\ \implies c = 22k \ , \ a = 21k \ , \ b = 12k$

$P = abc = 21k \cdot 12k \cdot 22k = 5544 {k}^{3}$

$S = a + b + c = 21k + 12k + 22k = 55k$

a)

$P \ \ \vdots \ \ S \iff 5544k^{3} \ \ \vdots \ \ 55k \iff 504k^{2} \ \ \vdots \ \ 5 \\ (504;5) = 1 \implies k^{2} \ \ \vdots \ \ 5 \implies k \ \ \vdots \ \ 5$

$k \in \mathcal{M}_{5} \iff k = 5p \ , \ p \in \mathbb {N^{\ast}}$

$S = 55 \cdot 5p = 275p \implies S \ \ \vdots \ \ 275$

b)

$\dfrac{P}{S} = \dfrac{5544k^{3}}{55k} = \dfrac{504k^{2}}{5} = \dfrac{504 \cdot (5p)^{2}}{5} = \\ = 2520 \cdot p^{2} \implies \dfrac{P}{S} \in \mathcal{M}_{2520}$

c)

$a = 21k \implies a = 105p\\ b = 12k \implies b = \ \ 60p \\ c = 22k \implies c = 110p$

105 = 3×5×7

60 = 2²×3×5

110 = 2×5×11

(105; 60; 110) = 1

=> pentru p = 1

$a = 105 \ ; \ b = 60 \ ; \ c = 110$