Question

4. ABCD este un patrulater cu AB = BC = CD = 16 cm, înscris într-un cerc cu lungimea
32pi cm. Aflaţi perimetrul și aria patrulaterului.​

Answer 1

Răspuns:

perimetrul patrulaterului= 80 cm

aria patrulaterului = 192√3 cm²

Explicație:

Ne amintim ca in orice cerc, la coarde egale le corespund arce egale si la arce egale le corespund unghiuri la centru egale.

Pentru ca lungimea unui cerc este 2·$\pi$·R, observam ca raza cercului nostru este

R = 32·$\pi$ / 2·$\pi$ = 16 cm

Dar AB = BC = CD = 16 cm

⇒  avem 3 triunghiuri echilaterale: AOB, BOC si COD.

Deci unghiul AOD are masura de

∡AOD =  3 · 60° = 180°

⇔ Punctele A, O si D sunt coliniare.

⇒

In cercul nostru cu centrul in O si raza de 16 cm, AD este diametru iar figura ABCD este un trapez isoscel format din cele 3 Δ echilaterale: ΔAOB, ΔBOC si ΔCOD.

Aflam aria A a patrulaterului ABCD

A = 3 · AB² ·√3 /4 =  3 · 16² · √3 /4 = 192√3 cm²

Aflam perimetrul P al patrulaterului ABCD

P = AD + AB + BC + CD = 2·R + 3·R = 5·R = 5 x 16 = 80 cm

Ai desenul pe foaia atasata.