Question

4. În figura 5, ABCD este un romb în care
AB = 12 cm şi <BAC = 30°. Notăm cu o
punctul de intersecție a diagonalelor şi cu
M, N mijloacele laturilor AB, respectiv CD.
a) Determinați aria rombului.
b) Demonstrați că segmentele MN şi BD au
acelaşi mijloc.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

din m<BAC=30° => ∡BAD=60° deci rombul ABCD va fi format din 2 Δ echilaterale ABD si BCD

daca notom cu O punctul de intersectie a diagonalelor rombului, vom avea ca in ΔAOB este drepunghic (diagonalele rombului sunt perpendiculare una pe alta), BO va masura jumatate din ipotenuza (regula unghiului de 30 degrade) adica 6, iar aplicand pitagora => AO masoara 4√3 si implicit diagonala AC=2*4√3=8√3

b. aria rombului o putem determina si ca aria ΔAOB * 4 <=> AO*OB/2 *4 de unde rezulta ca 6*4√3/2*4=48√3

c.

din ΔABD echilateral => BM pate fi atat mediana, cat si mediatoare, cat si inaltime, cat si bisectoare, deci BM=AO=4√3. similar, BN=4√3,

cum ∡MBN = 60 (este cmpus din 2 unghiuri de cate 30 de grade in virtutea  faptului ca BM si BN sunt si bisectoare) deci ΔBMN este echilateral.

cum aria Δ echilateral este l²√3/4 vom avea ca este egala cu 16*3*√3/4=12√3

facand raportul 12√3/48√3=1/4

Explicație pas cu pas: