4. In figura alăturată, ABCD este un pătrat cu AB = 12 cm, punctul E este mijlocul lui (CD), AC n BD = {0}, iar
BD nAE = {F}.
2p a) Aflați raportul dintre segmentele DF și BF.
3p b) Demonstrați că aria patrulaterului COFE este de 24 cm²
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a) Raportul dintre segmentele DF și BF poate fi calculat folosind relaţia dintre unghiurile suplimentare: sin x / sin y = sin (180° - x) / sin (180° - y).
În triunghiul ADE, unghiul AED este suplimentar unghiului DEF, deci sin AED / sin DEF = sin (180° - AED) / sin (180° - DEF). Înlocuind valorile, obţinem: sin (90° - BF) / sin BF = sin (90° + BF) / sin (90° - BF).
Reorganizând termenii, obţinem: sin (90° + BF) = sin (90° - BF). Aplicând proprietatea sinusurilor, obţinem: cos BF = cos (90° - BF). Rezolvând această ecuaţie, obţinem: cos (2 * BF) = 1, deci 2 * BF = 0°, 180°, 360°, etc.
Astfel, BF are mărimea 0°, 90°, 180°, etc. Deoarece BF < 90°, BF are mărimea 0°. Astfel, raportul dintre segmentele DF și BF este DF / BF = 12 cm / 0 cm = ∞.
b) Pentru a demonstra că aria patrulaterului COFE este de 24 cm², putem folosi formula ariei unui paralelogram: A = b * h, unde b este latura paralelă cu h.
Patrulaterul COFE este un paralelogram, deci aria sa poate fi calculată astfel: A = DF * CF = DF * (12 cm - DF) = DF * 12 cm - DF^2.
În ecuaţia A = DF * 12 cm - DF^2, DF este necunoscută, deci trebuie să o găsim prin rezolvarea ecuaţiei A = DF * 12 cm - DF^2 pentru DF. Înlocuind valoarea lui A cu 24 cm², obţinem: 24 cm² = DF * 12 cm - DF^2. Rezolvând această ecuaţie, obţinem: DF = 0 cm sau DF = 12 cm.
DF nu poate avea valoarea 0 cm, deoarece DF este un segment de lungime pozitivă, deci DF = 12 cm. Verificând, vedem că aceasta este o soluţie validă, deoarece A = DF * CF = 12 cm * (12 cm - DF) = 12 cm * 0 cm = 0 cm².
Astfel, aria patrulaterului COFE este de 24 cm².