Question

4. În figura alăturată este desenat un semicerc cu centrul în O și diametrul AB = 20 cm. Dreptunghiul MNPQ cu MQ = 5 cm are vârfurile M şi N pe AB, iar vârfurile P şi Q pe semicerc. A) Arată că MN = 10 radical din 3 cm.
b) Calculează măsura unghiului ABQ. ​.

Answer 1

Dreptunghi înscris în semicerc

• într-un cerc diametrul este dublul razei

AB este diametru ⇒ r = AB:2 ⇔ r = 10 cm

OA, OB, OQ sunt raze în cerc ⇒ OQ = 10 cm

a) MNPQ este dreptunghi ⇒ QM⊥MN ⇒ ΔMQO este triunghi dreptunghic

Aplicăm teorema lui Pitagora:

$OM^{2} = OQ^{2} - MQ^{2} = 10^{2} - 5^{2} = 75$

$\implies OM = 5 \sqrt{3} \ cm$

$MN = 2 \cdot OM = 2 \cdot 5 \sqrt{3} \implies \bf MN = 10 \sqrt{3} \: cm$

b) în ΔMQO avem OQ = 10 cm şi MQ = 5 cm ⇒ OQ = 2×MQ

• dacă o catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul ce se opune catetei are măsura de 30°

⇒ OQ este cateta opusa unghiului de 30° ⇒ ∡MOQ = 30°

• unghiul cu vârful în centru are măsura egală cu măsura arcului de cerc cuprins între laturile sale

$m(\measuredangle MOQ) = 30^{0} \implies m(arc \ AQ) = 30^{0}$

• măsura unghiului înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale

$m(\measuredangle MBQ) = \dfrac{m(arc \ AQ)}{2} = \dfrac{30^{0}}{2}=15^{0}$

$m(\measuredangle MBQ) = 15^{0} \implies \bf m(\measuredangle ABQ) = 15^{0}$