Question

4. În figura alăturată este desenat un trapez isoscel ABCD, cu baza
mare AB = 21 cm, baza mică CD = 9 cm si AD = BC= 10 cm. Fie
{0} = AC intersectat cu BD.
a) Calculează lungimea diagonalei AC.
b) Determină lungimea segmentului AO.

Answer 1

ABCD este trapez isoscel

a)

• ducem înălțimea CN⊥AB, N∈AB

$BN = \dfrac{AB-CD}{2} = \dfrac{21-9}{2} = 6 \cm$

• aplicăm teorema lui Pitagora în ΔBCN:

$CN^{2} = BC^{2} - BN^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 = 8^{2}$

$\implies \bf CN = 8 \ cm$

$AN = AB - BN = 21 - 6 = 15 \ cm$

• aplicăm teorema lui Pitagora în ΔACN:

$AC^{2} = AN^{2} + CN^{2} = 15^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17^{2}$

$\implies \bf AC = 17 \ cm$

b)

AB || CD ⇒ ΔAOB ~ ΔCOD

• folosim formula de la rapoarte derivate:

$\dfrac{AO}{CO} = \dfrac{AB}{CD} \iff \dfrac{AO}{AO + CO} = \dfrac{AB}{AB + CD}$

$\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{21}{21 + 9} \iff \dfrac{AO}{17} = \dfrac{21}{30}$

$AO = \dfrac{17 \cdot 21}{30} \implies \bf AO = 11,9 \ cm$