Question

4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, pe care sunt situate punctele M şi N, astfel încât MN = 8√3 cm şi arcul mic MN = 120°. Lungimea cercului este egală cu:
a) 12л cm;
b) 14л cm;
c) 16л cm;
d) 18л cm.​

Answer 1

Răspuns:

c) 16π

Demonstrație:

• aflăm raza cercului:

Ducem OA bisectoarea ∡MON, cu A ∈ MN

⇒ ∡MOA = 60°

ΔMON isoscel (OM ≡ ON, raze)

⇒ OA înălțime și mediană în ΔMON

⇒ ∡MAO ≡ ∡ NAO = 90°

   și MA ≡ NA

în ΔMAO avem ∡OMA = 90° - ∡MOA = 90° - 60° = 30°

⇒ OA = OM / 2

Pitagora în ΔMOA:

MA² = OM² - OA² = r² - r² / 4 = r√3 / 2

⇒ MN = MA + NA = 2 · r√3 / 2 = r√3 = 8√3

⇒ r = 8 cm

• lungimea cercului:

L = 2 · π · r = 2 · π · 8 = 16π

Răspuns corect:

c) 16π