4. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD și diagonala BD. Dacă perimetrul rombului este egal cu 16 radical din 5 cm şi unghiul ABC = 2 · unghiul BAD, atunci lungimea diagonalei BD este egală cu:
a) 4 radical din 5 cm;
b) 10 cm;
c) 12 cm;
d) 52 cm
Răspunsuri la întrebare
Salut!
Desi poate parea la inceput dificila, problema devine destul de simpla dupa ce faci anumite observatii!
Din ipoteza aflam ca perimetrul rombului este 16√5 cm.
Formula pentru perimetrul rombului este 4 × l.
De aici putem deduce ca lungimea unei laturi este (16√5)/4 = 4√5 cm
Intr-un romb, diagonalele sunt perpendiculare ⇒ in triunghiurile dreptunghice formate de perpendiculare, laturile rombului sunt ipotenuze.
Tot in ipoteza ni se mai spune ca ∡ABC este dublul lui ∡BAD.
Desi la inceput poate parea neinsemnat, aspectul acesta este crucial pentru a rezolva problema!
Intr-un romb (si orice alt poligon), masura unghiurilor este de 360°.
Voi nota unghiul ∡ABC cu x si ∡BAC cu y.
Stiind ca intr-un romb unghiurile opuse sunt congruente, putem scrie ecuatia:
2x + 2y = 360
Deoarece are doua necunoscute, nu o putem rezolva. Asa ca mai avem nevoie de ceva! Aici vine partea aparent neinsemnata din ipoteza: putem sa scriem x = 2y pentru a obtine o a doua ecuatie si astfel un sistem de ecuatii!
2x + 2y = 360
x = 2y
⇒ 6y = 360 ⇒ y = 60°
⇒ x = 2 × 60° ⇒ x = 120°
Inca o proprietate a rombului este ca diagonalele sunt si bisectoare!
Din moment ce sunt bisectoare, deducem ca ∡BAC = ∡CAD = 30°.
Putem aplica Teorema 30°-60°-90° care spune ca, intr-un triunghi dreptunghic, cateta opusa unui unghi de 30° este jumatate din ipotenuza.
Stiind lungimea ipotenuzei (4√5 cm), aflam ca OB (punctul O este intersectia diagonalelor), care este jumatate din BD, este 2√5 cm.
Tot ce ne mai ramane de facut este sa dublam jumatatea diagonalei pentru a-i afla lungimea de 4√5 cm :) ⇒⇒⇒ varianta a este corecta !!!
-Luke48