Question

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu
AB || CD și KA = 90°. Diagonala BD este bisectoarea unghiului ABC,
AB = 8 cm şi CD = 5 cm. Lungimea laturii AD este egală cu:
b) 4 cm;
d) 5 cm.
a) 3 cm;
c) 372 cm;

Answer 1

Ducem CE ⊥ AB, cu E ∈ (AB).

Analizăm patrulaterul AECD:

∡A ≡ ∡E ≡ ∡D = 90°

⇒ ∡C = 360° - 3 · 90° = 90° ⇒ AECD dreptunghi

⇒ AE ≡ CD  ⇔  AE = 5 cm

⇒ EB = 8 cm - 5 cm = 3 cm (relația 1)

AB║CD și BD secanta ⇒  ∡ABD ≡ ∡BDC  (alt. int.)

știm din ipoteză că ∡ABD ≡ ∡CBD (BD bisectoare)

⇒ ∡BDC ≡ ∡CBD

⇒ ΔBDC  isoscel  ⇒  CD ≡ BC = 5 cm (relația 2)

CE ⊥ AB ⇒ ΔCEB dreptunghic

relația 1:  EB = 3 cm (catetă)

relația 2:  BC = 5 cm (ipotenuză)

aplicăm Pitagora: suma pătratelor catetelor = pătratul ipotenuzei

CE² = BC² - BE² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

CE = √16 = 4 cm

cum AECD dreptunghi ⇒ AD ≡ CE

⇒ AD = 4 cm