Question

4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi
ABCD
cu
AB =14cm
şi
AD =10cm
. Punctul
M
este situat pe latura
CD
astfel încât
AM AB = .
Bisectoarea unghiului
BAM
intersectează dreapta
CD
în punctul
E.
(2p) a) Arată că aria dreptunghiului
ABCD
este egală cu
2
140cm .
(3p) b) Demonstrează că patrulaterul
AMEB
este romb.

Answer 1

Rezolvare :

Ipoteza :

ABCD dreptunghi

AB=14 cm , AD=10 cm

M∈ CD , AM=AB

..................................................

a)

Arată că aria dreptunghiului  ABCD  este egală cu  140cm² .

A dreptunghi = L · l = AB · AD = 14 · 10 = 140 cm² ✔

b)

Demonstrează că patrulaterul AMEB este romb .

Fie AE ∩ BM = { Q }

[ AE - bisectoarea ∡ BAM ⇒ ∡BAE = ∡MAE ⇒ ∡BAQ ≡ ∡ MAQ

ΔAQB , ΔAQM { AB=AM , ∡BAQ ≡ ∡MAQ , AQ=AQ ( latura comună )

⇒ ΔAQB ≡ ΔAQM ⇒ ∡AQM ≡ ∡AQB ⇒ m(∡AQM) = m(∡AQB) = x

m(∡AQM) + m(∡AQB) = 180° ⇒ x+x=180° ⇒ 2x=180° ⇒ x=180°/2 = 90° ⇒ x=90°

m(∡AQM)=m(∡AQB)=90° ⇒ AQ ⊥ BM ⇒ AE ⊥ BM

ABCD - dreptunghi ⇒ AB ║ DC ⇒ AB ║ ME , AE - secantă ⇒ ∡BAE ≡∡MEA = ∡ alterne interne ⇒ ∡ BAE = ∡MEQ ⇒ ∡MAE≡∡MEQ ⇒ ∡BAE ≡ ∡MAE

⇒  ΔMAE este un Δ isoscel cu MA=ME , MA=AB ⇒ AB=ME , AB ║ ME ⇒ AMEB este paralelogram

MA=ME ⇒ AMEB este romb ✔