4. Paginile unei cărți sunt numerotate de la 1 la 336. Din această carte se rup la întâmplare 111 foi. a) (3p) Arătați că suma numerelor de pe foile rămase nu se împarte exact la 10. b) (4p) Arătaţi că produsul numerelor de pe foile rămase se împarte exact la 3.
va rooggg dau coroanaaa
Răspunsuri la întrebare
a) Cartea are 336 pagini.
=> cartea are 336:2=168 foi
Au fost rupte 111 foi => au rămas 168-111=57 foi nerupte.
Fiecare foaie este numerotată cu 2 numere consecutive => Suma numerelor de pe o foaie este număr impar.
57 (foi) × un număr impar = un număr impar.
Un număr impar nu este divizibil cu 10.
Deci, suma numerelor de pe foile rămase nu este multiplu al lui 10.
b) Avem 336 numere consecutive folosite pentru numerotarea cărții.
Dintre ele sunt 336:3=112 numere divizibile cu 3.
Dacă toate cele 111 foi rupte ar conține un multiplu de 3, (pe o foaie fiind nr. consecutive nu putem avea 2 multiplii de 3), ar rămâne un multiplu de 3 pe foile nerupte. (112-111=1)
Produsul dintre un multiplu de 3 și un alt număr este multiplu de 3.
Deci, produsul numerelor de pe foile rămase se împarte exact la 3.