Question

4. Piramida regulată VABC are volumul egal cu 72 cm³ şi înălţimea VO = 2√3 cm. a) Latura bazei este egală cu ... cm. b) Aria laterală a piramidei este egală cu ... cm².​

Answer 1

VABC este piramidă regulată (baza este triunghi echilateral, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele)

a)

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \dfrac{{AB}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\mathcal{V}_{VABC} = \dfrac{\mathcal{A}_{\Delta ABC} \cdot VO}{3} = \dfrac{{AB}^{2} \sqrt{3} \cdot VO}{4 \cdot 3}$

$\dfrac{ {AB}^{2} \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} }{12} = 72 \iff \dfrac{ {AB}^{2}}{2} = 72$

${AB}^{2} = 144 \implies \bf AB = 12 \ cm$

b)

apotema bazei:

$OM = \dfrac{AM}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{AB \sqrt{3} }{2} = \dfrac{12 \sqrt{3} }{6}$

$\implies OM = 2 \sqrt{3} \ cm$

apotema piramidei:

${VM}^{2} = {VO}^{2} + {OM}^{2} = {(2 \sqrt{3} )}^{2} + {(2 \sqrt{3} )}^{2} = 24$

$VM = \sqrt{24} \implies VM = 2 \sqrt{6} \ cm$

Aria laterală:

$\mathcal{A}_{\ell} = \dfrac{\mathcal{P}_{\Delta ABC} \cdot VM}{2} = \dfrac{3AB \cdot VM}{2} =$

$= \dfrac{3 \cdot 12 \cdot 2 \sqrt{6}}{2} = \bf 36 \sqrt{6} \ {cm}^{2}$