Question

4. Să se demonstreze că pentru orice număr natural n avem: 2 ori 4^2n+1 +5 ori 3^n+3 divizibil cu 13​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

E(n) = 2*4*(4^2)^n + 5*3^3*3^n =

 8*16^n + 135*3^n

Demo. prin inductie:

E(1) = 8*16 +135*3 = 128+405 =533 =13*41= m(13)

Presup. E(n)= m(13) si aratam ca E(n+1)= m(13):

E(n+1) = 8*16^(n+1) + 135*3^(n+1) =

8*16*16^n + 135*3*3^n =

8*16^n + 125*3^n + 120*16^n + 270*3^n =

E(n) + 2(60*16^n + 135*3^n) =

E(n) +2(52*16^n +  8*16^n + 135*3^n) =

E(n) +2*52*16^n + 2E(n) =

m(13) +m(13) +m(13) = m(13)        (52 = 4*13)