Question

4. Se consideră expresia algebrică E(x,y) = x² + 4y² - 6x + 4y +10
a) Calculează (x - 3)².
b) Arată că E(x,y) = (x − 3)² + (2y + 1)².
c) Dacă E(a,b) = 1, arată că a € [2,4] şi b= (-1,0].


va rog ajutor!

Answer 1

a)

${(x - 3)}^{2} = {x}^{2} - 2 \cdot 3x + {3}^{2} = {x}^{2} - 6x + 9$

b)

$E(x,y) = {x}^{2} + 4 {y}^{2} - 6x + 4y + 10 = {x}^{2} - 6x + 9 + 4 {y}^{2} + 4y + 1 = {x}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + {3}^{2} + {(2y)}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot y + {1}^{2} = {(x - 3)}^{2} + {(2y + 1)}^{2}$

c)

E(a,b) = 1

${(x - 3)}^{2} + {(2y + 1)}^{2} = 1$

$\iff {(x - 3)}^{2} = 1 - {(2y + 1)}^{2}$

${(x - 3)}^{2} \geqslant 0 \iff 1 - {(2y + 1)}^{2} \geqslant 0$

${(2y + 1)}^{2} \leqslant 1 \iff |2y + 1| \leqslant 1$

$- 1 < 2y + 1 < 1 \ \ \Big| - 1 \iff - 2 \leqslant 2y < 0$

$- 1 \leqslant y \leqslant 0 \implies \bf y \in \Big[-1;0\Big]$

și:

$\iff {(2y + 1)}^{2} = 1 - {(x - 3)}^{2}$

${(2x + 1)}^{2} \geqslant 0 \iff 1 - {(x - 3)}^{2} \geqslant 0$

${(x - 3)}^{2} \leqslant 1 \iff |x - 3| \leqslant 1$

$- 1 < x - 3 < 1 \ \ \Big| + 3 \iff 2 \leqslant x < 4$

$\implies \bf x \in \Big[2;4\Big]$

q.e.d.