Question

4. Unghiurile unui patrulater convex ABCD au măsurile proporționale cu numerele 3, 4, 5 și 3. a) Calculaţi măsurile unghiurilor patrulaterului. b) Calculați unghiurile triunghiului ABD, ştiind că triunghiul BCD este isoscel.


va rooog, urgent !!​

Answer 1

Răspuns:

a)

A = 72°

B = 96°

C = 120°

D = 72°

b) Unghiurile triunghiului ABD:

∡A = 72°

∡BDA = 42°

∡DBA = 66°

Explicație pas cu pas:

a)

Relația de proporționalitate se scrie astfel:

$\frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5} = \frac{D}{3} = k$   unde k este o constantă pe care o vom calcula imediat.

Din egalitățile de mai sus rezultă:

A = 3k   (1)

B = 4k   (2)

C = 5k   (3)

D = 3k   (4)

Suma unghiurilor unui patrulater convex este 360°:

A + B + C + D = 360 (5)

În relația (5) înlocuim pe A, B, C și D conform relațiilor (1), (2), (3) și (4):

3k + 4k + 5k + 3k = 360 ⇒ 15k = 360 ⇒ k = 24

Cunoscând k, calculăm unghiurile:

A = 3×24 = 72°

B = 4×24 = 96°

C = 5×24 = 120°

D = 3×24 = 72°

b) Triunghiul BCD este isoscel, iar unghiul C=120° ⇒ singura variantă este ca unghiurile CDB și CBD să fie egale (vezi fotografia atașată).

În triunghiul isoscel CBD, suma unghiurilor este 180°.

∡C + 2·∡CDB = 180 ⇒ 2·∡CDB = 180 - 120 ⇒ 2· ∡CDB = 60 ⇒ ∡CDB = 30°

Cum ∡D = 72° și ∡CDB = 30° ⇒ ∡BDA = 42°

Cum ∡B = 96° și ∡CBD = 30° ⇒ ∡DBA = 66°

∡A = 72° (rezultat cunoscut de la punctul a)