Question

40. Identificand un factor comun,in fiecare suma ,calculati:
a) 3+6+9+...+66
Solutie:3(1+2+3+...+22)=3×(22×23):2=759
b)10+20+30+...+1230=
c)7+14+21+...+315=
43. In cate zerouri se termina produsul primelor 25 de numere naturale nenule?
Idicatie. Zerouri se obtin din fiecare produs a lui 5 cu un numar par si bineinteles din 0 de la sfarsitul unui numar.
44. Care este ce mai mare valoare posibila a sumei a doua numere naturale al caror produs este 24?
45. Produsul a trei numere naturale este 27. Aflati suma acestora,analizand toate cazurile posibile.

Answer 1

    42.   b) 10 + 20 + 30 + .... + 1230
  
   Dam factor comun pe 10 astfel incat obtinem: 10( 1 + 2 + 3 + ... + 123) o suma Gauss pe care o rezolvam cu formula [n( n + 1) ] : 2 unde n = 123 .
  
      10 [ 123 * 124 ] : 2 = 5 * 15252 
                                        = 76260
  
   c) 7 + 14 + 21 + .... + 315 
 
  La fel ca la subpunctele anterioare dai factor pe 7 astfel incat obtii: 7( 1 + 2+ 3 + .... 45) pe care o rezolvi cu ajutorul sumei lui Gauss.
 
      7 ( 45 * 46) / 2 = 7 * 45 * 23
                                = 7245
 
    43.   Numerele naturale nenule sunt cele diferite de 0: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,11, 12 , 13, 14, 15, .... 19 , 20 , .... 25.
 
        1 * 2 * 3 * ..... *  25 , stim ca nr de 0- uri este egal cu nr de 10-uri care sunt prezente in produs, 10-le fiind ocbtinut prin im=nmultirea lui 2 si 5. Observam urmatorul lucru: in acest produs, numarul de 5-uri > nr de 2 => putem numara doar 5-urile pt a ne usura munca: 
  
     5 = 5 * 1
   10 = 5 * 2
   15 = 5 * 3
   20 = 5 * 4
   25 = 5^2 
   ----------------
            6 de 5 => produsul se termina in 6 de 0.

    44.  cele mai mari doua numere care au produsul 24 sunt 24 si 1.
             24 + 1 = 25 cea mai mare posibila suma

  45.   Cazuri posibile: 1 * 9 * 3 = 27
                                          1 * 27 * 1 = 27
    Avem doar doua cazuri posibile deoarece dupa cum bine stim divizorii naturali ai  lui 27 sunt 1 , 3 , 9 si 27.

     Caz I : 1 + 9 + 3 = 13 ( suma)
                   1 + 27 + 1 = 29 ( suma)