Question

49. Fie triunghiul ABC, CU AB = 6 cm, AC = 6 radical din2cm și BC =6 radical din 3 cm. Dacă AP | BC, P € BC, M = pr ab Pși N = pracP, aflați lungimea segmentului MN.​

Answer 1

AB=6 cm

AC=6√2 cm

BC=6√3 cm

Daca ridicam laturile la patrat vom avea:

AB²=36 cm

AC²=72 cm

BC²=108 cm

Observam ca BC²=AC²+AB²⇒ Reciproca lui Pitagora (daca suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza atunci triunghiul este dreptunghic)⇒ ΔABC dreptunghic in A

Cunoastem din ipoteza:

PM⊥AB

AP⊥BC

PN⊥AC ⇒PM║AC si PN║AB

$AP=\frac{AB\times AC}{BC} =\frac{6\times 6\sqrt{2} }{6\sqrt{3}}=\sqrt{6} \ cm$

Teorema catetei=cateta la patrat este egala cu produsul dintre proiectia sa si ipotenuza

AB²=BP×BC

36=BP×6√3

BP=2√3 cm⇒ PC=BC-BP

PC=4√3 cm

ΔBPA dreptunghic in P⇒

$PM=\frac{BP\times AP}{AB}$

$PM=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{6} }{6} =\sqrt{2} \ cm$

Aplicam teorema catetei in ΔBPA:

BP²=BM×AB

12=BM×6

BM=2 cm⇒ AM=4 cm

PM=AN⇒ AN=√2 cm

Aplicam Pitagora in ΔMAN

MN²=AM²+AN²

MN²=16+2=18

MN=3√2 cm