Question

√(4x-3)+√(5x+1)=√(15x+4)

Answer 1

Înainte de a rezolva ecuația, primul lucru pe care trebuie să îl facem este să punem condițiile de existență. Un radical poate exista în mulțimea numerelor reale numai dacă numărul de sub radical este pozitiv. Radical din număr negativ există doar în mulțimea numerelor complexe.

Condițiile de existență:

• $\displaystyle{ 4x-3 \geqslant 0 \rightarrow 4x \geqslant 3 \rightarrow x \in [\frac{3}{4}, \infty) }$
• $\displaystyle{ 5x + 1 \geqslant 0 \rightarrow 5x \geqslant -1 \rightarrow x \in [-\frac{1}{5}, \infty) }$
• $\displaystyle{ 15x + 4 \geqslant 0 \rightarrow 15x \geqslant -4 \rightarrow x \in [-\frac{4}{15}, \infty) }$

$\displaystyle{ \rightarrow x \in [\frac{3}{4}, \infty)\ \cap \ [-\frac{1}{5}, \infty) \ \cap \ [-\frac{4}{15}, \infty) = [\frac{3}{4}, \infty) }$

Acum că știm cărui interval îi aparține $x$, ne putem ocupa de rezolvarea ecuației.

$\displaystyle{ \sqrt{4x-3} + \sqrt{5x+1} = \sqrt{15x+4} }$

• se ridică totul la pătrat

$\displaystyle{ (\sqrt{4x-3} + \sqrt{5x+1})^{2} = (\sqrt{15x+4})^{2} }$

$\displaystyle{ 9x - 2 + 2\sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 15x + 4 }$

• se scade din tot rândul 9x - 2

$\displaystyle{ 2\sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 6x + 6 }$

• se împarte prin 2

$\displaystyle{ \sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 3x + 3 }$

• se ridică din nou la pătrat

$\displaystyle{ 20x^{2} - 11x - 3 = 9x^{2} + 18x + 9 }$

• se scade tot ceea ce este în membrul drept

$\displaystyle{ 11x^{2} - 29x - 12 = 0 }$

• se rezolvă ecuația de gradul al doilea

$\displaystyle{ a = 11, \ b = -29, \ c = -12 }$

$\displaystyle{ \Delta = b^{2} - 4ac = (-29)^{2} - 4 \cdot 11 \cdot (-12) }$

$\displaystyle{ \Delta = 841 + 528 = 1369 }$

$\displaystyle{ x_{1} = \frac{-b+\Delta}{2a} = \frac{29 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 11} = \frac{29 + 37}{22} = \frac{66}{22} = 3 }$

$\displaystyle{ x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 11} = \frac{29 - 37}{22} = \frac{-8}{22} }$

• se verifică dacă cele două rădăcini obținute aparțin intervalului $\displaystyle{ [\frac{3}{4} , \infty) }$ adică dacă se respectă condițiile de existență

$\displaystyle{ x_{1} = 3 \in [\frac{3}{4}, \infty) }$

$\displaystyle{ x_{2} = \frac{-8}{22} \notin [\frac{3}{4}, \infty) }$

• a doua valoare obținută nu respectă condițiile de existență, deci doar prima este validă
• se înlocuiește soluția găsită în ecuația inițială, pentru a se efectua proba

$\displaystyle{ \sqrt{4\cdot 3 - 3} + \sqrt{5\cdot 3 + 1} = \sqrt{15 \cdot 3 + 4} }$

$\displaystyle{ \sqrt{12-3} + \sqrt{15+1} = \sqrt{45 + 4} }$

$\displaystyle{ \sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{49} }$

$\displaystyle{ 3 + 4 = 7 }$

ADEVĂRAT, deci soluția găsită a fost bună

SOLUȚIE:

$\boxed{x=3}$