Question

5-10 va rog mult......,.......

Answer 1

5)2013+2(1+2+.....+2012)
1+2+3+...+2012=2012*2013/2
2013+2*2012*2013/2 - 2 cu 2 se simplifica
2013+2012*2013=
2013(1+2012)=2013*2013=> patrat perfect

6)
2⁵⁷=(2³)¹⁹=8¹⁹

3³⁸=(3²)¹⁹=9¹⁹

8<9  deci  2⁵⁷<3³⁸


7)
a = 1  + 2 + 2² + .... + 2¹¹            inmultim ex . cu 2 

2a =         2 + 2² + 2³ + ... + 2¹¹  + 2¹²     din care scadem a 
-  a = -1     -2 - 2² -  2³ - ..... - 2¹¹ 
----------------------------------------------------
2a -a = -1                                   + 2¹²
a = 2¹² - 1 
atunci    1 + a = 1 + 2¹²  - 1  = 2¹²  = ( 2⁴  ) ³   cub


8)
63=9*7
P+3=1*2*3*4*...*10 este divizibil cu 63 deoarece contine factorii 7 si 9.
P+3=n*63 ⇒ P=n*63-3=(n-1)*63+63-3=(n-1)*63+60
P=(n-1)*63+60
Cum 60<63 rezulta din relatia de mai sus si din teorema impartireii cu rest ca: 
Deci restul impartirii numarului P la 63 este 60.

9)
Numerele naturale de 3 cifre care dau rest la impartirea cu 7 sunt de tipul: a=20k+7
Se pun conditiile a≥100 si a≤999 de unde rezulta ca  5≤k≤49.
Deci sunt 45 de numere in total acestea fiind:
107, 127, 147, 167,.....967, 987

10)
a+b<120
a:b=9 rest 10
a = 9b+10
9b+10+b≤120
10b≤120-10
10b≤110
b≤110/10
b≤11
a=11*9+10=99+10=109
a+b=120   nu depaseste 120